Sólidos geométricos, planificações e igualdade
Sólidos geométricos
O que é um sólido geométrico
É uma figura tridimensional: tem três dimensões, que são comprimento, largura e altura.
Os sólidos se dividem em dois grandes grupos.
- Poliedros: toda a superfície é formada só por polígonos (partes planas). Exemplos: prisma, pirâmide, dodecaedro.
- Corpos redondos: têm pelo menos uma superfície que não é plana (curva). Exemplos: esfera, cone, cilindro.
Alguns poliedros recebem nomes especiais: prismas e pirâmides.
Sólidos no dia a dia
Eles aparecem na arquitetura, no design de produtos e na decoração.
| Objeto | Sólido parecido |
|---|---|
| Aquário | Bloco retangular |
| Cubo mágico (brinquedo) | Cubo |
| Luminárias triangulares | Pirâmide de base triangular |
| Casas Cubo | Cubo (usado de forma criativa na arquitetura) |
Imagine que você é arquiteto. Desenhe uma casa inspirada em sólidos geométricos. Pode mudar a posição do sólido ou combinar com outras formas. Depois explique como o sólido foi usado no design.
Ver sugestão
Desenho: um cubo como corpo da casa, uma pirâmide quadrangular como telhado, um cilindro ao lado como torre. Portas e janelas em retângulos e quadrados.
Explicação: "Escolhi o cubo para a parte principal, onde ficam os cômodos. Em cima coloquei uma pirâmide de base quadrada como telhado e combinei com um cilindro para fazer a torre."
Prismas
Definição
Prisma é o poliedro que tem duas bases paralelas e congruentes (iguais) e faces laterais em forma de paralelogramo.
O bloco retangular e o cubo, estudados nos anos anteriores, são tipos de prisma.
Elementos de um prisma
- Base: cada um dos dois polígonos iguais e paralelos.
- Face lateral: cada paralelogramo que liga as bases.
- Aresta da base: lado do polígono da base.
- Aresta lateral: segmento que liga uma base à outra.
- Vértice: ponto de encontro das arestas.
Nome e contagem dos elementos
O prisma recebe o nome do polígono da sua base.
| Prisma | Base | Faces | Arestas | Vértices |
|---|---|---|---|---|
| Triangular | Triângulo | 5 | 9 | 6 |
| Quadrangular | Quadrado | 6 | 12 | 8 |
| Pentagonal | Pentágono | 7 | 15 | 10 |
| Hexagonal | Hexágono | 8 | 18 | 12 |
| Heptagonal | Heptágono | 9 | 21 | 14 |
| Octogonal | Octógono | 10 | 24 | 16 |
Observação do livro: em qualquer prisma, o número de arestas laterais é igual ao número de lados do polígono da base.
Se a base tem n lados, o prisma tem:
- Faces = n + 2 (n laterais + 2 bases)
- Vértices = 2 × n (n em cada base)
- Arestas = 3 × n (n em cada base + n laterais)
Prisma reto, oblíquo e regular
- Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares às bases (formam ângulo de 90°).
- Prisma oblíquo: as arestas laterais formam um ângulo diferente de 90° com a base (ele fica "inclinado").
- Prisma regular: é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares.
Neste capítulo o livro estuda apenas os prismas retos.
A caixa da empresa de embalagens
Uma empresa vai produzir caixas com a forma de um prisma cuja base tem 8 lados.
a) Qual o polígono das bases? Octógono, pois tem 8 lados.
b) Como classificar o prisma? Prisma octogonal.
c) Faces, vértices e arestas:
- Faces: 2 bases + 8 laterais = 10
- Vértices: 8 + 8 = 16
- Arestas: 8 + 8 + 8 = 24 (8 em cada base e 8 laterais)
Pirâmides
Definição
Pirâmide é o poliedro que tem uma base em forma de polígono e faces laterais triangulares.
O ponto onde todas as arestas laterais se encontram é o vértice da pirâmide.
Elementos de uma pirâmide
Nome e contagem dos elementos
A pirâmide também recebe o nome do polígono da base.
| Pirâmide | Base | Faces | Arestas | Vértices |
|---|---|---|---|---|
| Triangular | Triângulo | 4 | 6 | 4 |
| Quadrangular | Quadrado | 5 | 8 | 5 |
| Pentagonal | Pentágono | 6 | 10 | 6 |
| Hexagonal | Hexágono | 7 | 12 | 7 |
| Octogonal | Octógono | 9 | 16 | 9 |
Observação do livro: em qualquer pirâmide, o número de arestas laterais é igual ao número de lados do polígono da base.
Se a base tem n lados, a pirâmide tem:
- Faces = n + 1 (n laterais + 1 base)
- Vértices = n + 1 (n da base + o vértice da pirâmide)
- Arestas = 2 × n (n da base + n laterais)
Na pirâmide, o número de faces é sempre igual ao número de vértices.
Pirâmide reta, oblíqua e regular
Trace um segmento ligando o vértice da pirâmide ao centro da base.
- Pirâmide reta: esse segmento é perpendicular ao plano da base.
- Pirâmide oblíqua: esse segmento não é perpendicular à base.
- Pirâmide regular: é uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular.
Neste capítulo o livro estuda as pirâmides retas.
Vista de cima de um prisma e de uma pirâmide
Duas figuras mostram a vista superior de um prisma e de uma pirâmide, ambos regulares e de base quadrada. O prisma aparece como um quadrado liso. A pirâmide aparece como um quadrado com as duas diagonais (as arestas laterais vistas de cima).
a) Vértices do prisma: 4 da base de baixo + 4 da base de cima = 8.
b) Vértices da pirâmide: 4 da base + 1 do topo = 5.
Exercícios 1 · Organizando o conhecimento
Preencha a tabela com três exemplos de poliedros e três de corpos redondos. Depois explique a principal diferença entre os dois grupos.
Ver resposta
Poliedros: cubo, pirâmide, prisma triangular.
Corpos redondos: esfera, cone, cilindro.
Diferença: os poliedros têm todas as superfícies planas, formadas por polígonos. Os corpos redondos têm pelo menos uma superfície curva.
Marque com X os sólidos que representam poliedros (seis figuras) e explique por quê.
Ver resposta
Marcar: o prisma pentagonal, o sólido com recorte em "V", a pirâmide e o sólido do canto inferior direito.
Não marcar: o tronco de cone e o cilindro com recorte, porque têm superfície curva.
Por quê: porque todas as faces das figuras marcadas são polígonos, ou seja, superfícies planas.
Confira com o desenho do livro.
Um prisma heptagonal tem duas bases heptagonais e sete faces laterais retangulares. a) Quantas faces, arestas e vértices ele tem? b) Explique como chegou ao resultado.
Ver resposta
a) 9 faces, 21 arestas e 14 vértices.
b) Faces: 2 bases + 7 laterais = 9. Vértices: 7 em cada base, 7 + 7 = 14. Arestas: 7 em cada base + 7 laterais, 7 + 7 + 7 = 21.
Existe relação entre o número de lados da base de uma pirâmide e a quantidade de faces laterais? Explique.
Ver resposta
Sim. O número de faces laterais é igual ao número de lados da base, porque cada lado da base forma uma face lateral triangular. Exemplo: base quadrada (4 lados) dá 4 faces laterais.
Um fabricante de perfumes vai escolher a nova embalagem: cilindro ou prisma quadrangular. Elas serão guardadas em caixas de papelão em forma de paralelepípedo. a) Como as características influenciam a construção? b) E o armazenamento? c) Qual formato é mais prático?
Ver resposta
a) O prisma só tem faces planas, então é fácil de montar dobrando papelão. O cilindro tem superfície curva, mais difícil de construir.
b) Os prismas se encaixam lado a lado sem sobrar espaço. Os cilindros deixam espaços vazios entre eles.
c) O prisma quadrangular, pois aproveita melhor o espaço da caixa, é mais fácil de empilhar e não rola no transporte.
Compare o número de faces, vértices e arestas de um cubo, uma pirâmide quadrangular e um prisma triangular.
Ver resposta
| Cubo | Pirâmide quadrangular | Prisma triangular | |
|---|---|---|---|
| Faces | 6 | 5 | 5 |
| Vértices | 8 | 5 | 6 |
| Arestas | 12 | 8 | 9 |
Uma figura combina características de dois sólidos geométricos. Escreva o nome deles.
Ver resposta
É um prisma com uma pirâmide em cima, os dois com a mesma base.
Pela foto a base parece ter 7 lados (prisma heptagonal e pirâmide heptagonal). Conte os lados da base no livro: se forem 6, a resposta é prisma hexagonal e pirâmide hexagonal.
Planificações
O que é planificação
Planificação é o desenho plano que mostra todas as faces de um sólido, como se ele fosse "aberto" sobre a mesa.
As embalagens de papelão são fabricadas a partir da planificação do sólido que dá o formato a elas.
Nas embalagens existem também as abas: partes dobráveis que servem só para colar e montar. As abas não fazem parte do sólido geométrico.
Como reconhecer o sólido pela planificação
Prisma triangular
Pirâmide quadrangular
- Prisma: 2 polígonos iguais (bases) + retângulos (um para cada lado da base).
- Pirâmide: 1 polígono (base) + triângulos (um para cada lado da base).
Exemplos do livro:
- 3 retângulos + 2 triângulos formam um prisma triangular.
- 1 quadrado + 4 triângulos formam uma pirâmide quadrangular.
- 1 pentágono + 5 triângulos formam uma pirâmide pentagonal (o pentágono é a base e os triângulos são as faces laterais).
As planificações ajudam a entender a composição do sólido: mostram as faces laterais e as bases que caracterizam prismas e pirâmides.
Uma planificação tem 6 retângulos lado a lado, um hexágono em cima e outro embaixo. A qual sólido corresponde? Quais são os polígonos das faces e das bases?
Ver resposta
Corresponde a um prisma hexagonal. As faces laterais são 6 retângulos e as bases são 2 hexágonos.
Prisma ou pirâmide?
A planificação de um poliedro tem 1 octógono regular e 8 triângulos isósceles iguais entre si. Que poliedro é?
É uma pirâmide octogonal. O octógono é a base e os oito triângulos são as faces laterais.
O cubo pode ser planificado de 11 maneiras diferentes. Ou seja, existem 11 jeitos de arrumar os 6 quadrados em um desenho plano que, dobrado, forma o cubo. Um mesmo sólido pode ter mais de uma planificação.
Exercícios 2 · Planificações
Uma planificação tem 6 retângulos em forma de cruz. a) Qual poliedro ela forma? b) Quantas faces, arestas e vértices? c) Como verificar se a planificação corresponde ao poliedro?
Ver resposta
a) Bloco retangular (paralelepípedo).
b) 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.
c) Contando as faces da planificação (6 retângulos, iguais dois a dois) ou recortando e dobrando a figura para montar o sólido.
A planificação de um prisma regular tem 3 quadriláteros lado a lado e 2 triângulos. a) Pinte de vermelho as bases. b) Pinte de azul as faces laterais. c) Complete: faces, arestas e vértices.
Ver resposta
a) Vermelho: os 2 triângulos.
b) Azul: os 3 quadriláteros do meio.
c) Faces: 5. Arestas: 9. Vértices: 6. É um prisma triangular.
Três planificações de pirâmides: A (triângulo no centro com 3 triângulos), B (pentágono no centro com 5 triângulos, forma de estrela), C (quadrado no centro com 4 triângulos). a) Classifique cada uma. b) V ou F:
- A pirâmide A tem 4 faces.
- A pirâmide B tem base quadrada.
- A pirâmide C tem 8 arestas.
- A pirâmide B tem o mesmo número de vértices e faces.
Ver resposta
a) A: pirâmide triangular. B: pirâmide pentagonal. C: pirâmide quadrangular.
b) V, F, V, V.
- V: 1 base + 3 laterais = 4 faces.
- F: a base de B é um pentágono.
- V: 4 da base + 4 laterais = 8 arestas.
- V: B tem 6 vértices e 6 faces.
Um bloco retangular tem 3 faces visíveis, cada uma de uma cor (vermelha em cima, amarela na frente, azul na lateral). Faces opostas têm a mesma cor. Desenhe uma planificação e indique as cores.
Ver resposta
Uma coluna com 4 retângulos, de cima para baixo: vermelho, amarelo, vermelho, amarelo. Um retângulo azul de cada lado de um dos amarelos.
Ficam 2 faces vermelhas, 2 amarelas e 2 azuis, com as opostas da mesma cor.
O livro pede ainda para copiar essa planificação em papel sulfite (o final do enunciado ficou cortado na foto).
Propriedades da igualdade
O sinal de igual e a balança
O símbolo = foi criado pelo matemático galês Robert Recorde, em 1557, para representar a ideia de que uma coisa é igual a outra.
Um jeito simples de entender a igualdade é pensar em uma balança de dois pratos. Quando os pratos estão em equilíbrio, a massa de um lado é igual à massa do outro.
Exemplos de igualdades:
Quando fazemos a mesma operação nos dois lados de uma igualdade, o equilíbrio se mantém.
Propriedade aditiva
Adicionar ou subtrair o mesmo número nos dois lados da igualdade mantém a relação verdadeira.
Adicionando 5:
2 + 12 + 5 = 14 + 5
19 = 19
Subtraindo 10:
20 − 10 = 18 + 2 − 10
10 = 10
Propriedade multiplicativa
Multiplicar ou dividir os dois lados da igualdade pelo mesmo número também preserva a igualdade, desde que esse número não seja zero.
Multiplicando por 2:
2 × 4 = 2 × (3 + 1)
8 = 8
Dividindo por 10:
100 ÷ 10 = (80 + 20) ÷ 10
10 = 10
A página seguinte do livro (operações inversas e o exemplo da balança com blocos verdes) apareceu cortada na foto. Pelo trecho visível, ela explica que adição e subtração são operações inversas, pois uma desfaz a outra (exemplo: 20 + 10 = 30 e 30 − 10 = 20). Envie a foto dessa página para completar este bloco.
Revisão rápida
- Sólido geométrico: 3 dimensões (comprimento, largura, altura).
- Poliedro: só faces planas. Corpo redondo: pelo menos uma superfície curva.
- Prisma: 2 bases iguais e paralelas, laterais em paralelogramo. Faces n + 2, arestas 3n, vértices 2n.
- Pirâmide: 1 base, laterais triangulares. Faces n + 1, arestas 2n, vértices n + 1.
- Reto: perpendicular à base. Oblíquo: inclinado. Regular: reto com base regular.
- Planificação: todas as faces abertas no plano. Abas não fazem parte do sólido.
- Cubo: 11 planificações diferentes.
- Igualdade é uma balança: a mesma operação nos dois lados mantém o equilíbrio. Não vale multiplicar ou dividir por zero.
- Robert Recorde criou o sinal de igual em 1557.